Las funciones son representaciones de relaciones entre dos variables, donde una de ellas corresponde a valores o cantidades. Una función nos dice cómo se comporta una variable con respecto a la variación de la otra. Puede describir, por ejemplo, la posición de un automóvil a medida que transcurre el tiempo. Las funciones pueden representarse de diversas maneras. Por ejemplo, una tabla con los valores correspondientes a la variable independiente (x, el tiempo transcurrido) y a la variable dependiente (y, la posición del automóvil ) puede proporcionar mucha información acerca del tipo de función que las relaciona. A seguir se explican otras maneras de representar una función: Gráfico Se trata de la representación de los pares de valores (x, y) de la función en un plano cartesiano.

El formato del gráfico es característico de la función que representa. Ley de formación es la expresión matemática que proporciona el valor de la variable dependiente en términos de la variable independiente. También presenta una forma característica, de acuerdo con el tipo de función Vea al lado algunos tipos de funciones que estudiaremos en este aplicativo y sus correspondientes gráficos. 

Declive de la recta
Una de las características de las funciones de primer grado es el hecho de que sus gráficos están formados por puntos alineados, es decir, son rectas. El declive de una recta se define como la razón entre las distancias vertical y horizontal de dos puntos cualesquiera de la recta. Observe en la figura al lado los puntos A(xA, yA) y B(xB, yB). A partir de los mismos, podemos determinar el punto auxiliar C, como muestra la figura. Observe que el punto C tiene coordenadas C(xA, yB). De esta manera, tenemos el triángulo ABC, rectángulo en C, cuyo cateto vertical mide Î”y = yA - yB y el cateto horizontal mide Î”x = xA - xB. A declividade a da reta é definida como a razão: a = Î”y/Δx 

Ecuación de la recta en la forma reducida

La ecuación de la recta puede presentarse en lo que se suele denominar «forma reducida». y = ax + b En la misma se establecen: I. El declive a, también denominado «coeficiente angular» de la recta, ya que su valor se relaciona directamente con el valor del ángulo que la recta forma con el lado positivo del eje x. Si las escalas de los ejes x e y son iguales, el valor del declive será igual al valor de la tangente del ángulo en cuestión. II. El coeficiente lineal b, que corresponde a la ordenada del punto en que la recta hace intersección con el eje y. Observe que el punto en que la recta hace intersección con el eje x tiene coordenadas (0, x), donde el valor x se denomina raíz de la función . Su valor está determinado por: ax + b = 0 

Posiciones relativas de las rectas

Cuando dos o más rectas se localizan sobre un mismo plano, pueden asumir las siguientes posiciones, una con respecto a la otra: 
I. Concurrentessi las rectas forman ángulos diferentes con la horizontal, se cruzarán en algún punto. En ese caso, los declives de las rectas deben ser diferentes. Un caso especial de rectas concurrentes es el de la perpendicularidad. Para que ese fenómeno tenga lugar, los declives deben ser tales que el producto entre ellos sea igual a -1, por ejemplo 3 y -1/3 
II. Paralelascuando las rectas forman ángulos congruentes con la horizontal. En ese caso, los declives deben ser los mismos. Las coordenadas del punto de intersección pueden obtenerse igualando las ecuaciones de ambas rectas y resolviendo en x e y el sistema lineal resultante. 

Crecimiento

Para comprobar si una función es creciente o decreciente, puede adoptarse la siguiente estrategia: recorrer el gráfico de la función de izquierda a derecha. Luego, basta observar si los correspondientes valores de y de los puntos recorridos aumentan o disminuyen. Si aumentan, la función es creciente. En caso contrario, la función es decreciente. Es fácil notar, con la ayuda del gráfico, que el coeficiente angular de la recta tiene un factor predominante sobre el crecimiento de la función . Cuando el coeficiente angular es igual a cero, decimos que la función es constante. Haga variar los valores de los coeficientes a y b de la función y observe su comportamiento. 

Señal
Cuando hablamos de analizar la señal de una función , el objetivo es determinar en qué intervalo de valores de x la función asume valor positivo, negativo o nulo. Entendemos por señal de la función el valor de la coordenada y en ese punto. Cualquier punto sobre el eje x tiene coordenada y cero. Por eso, para analizar una función , el primer paso es determinar sus raíces, si las hay. El eje x divide el plano cartesiano en dos partes. Todos los puntos por encima del eje x tienen valor y positivo. Todos los puntos por debajo del eje x tienen valor y negativo. 

Inecuaciones
Para entender mejor la representación gráfica de una inecuación, tomemos un ejemplo. Considere la función del primer grado determinada por la expresión y = 2x + 5 La recta representada está formada por todos los pares de valores (x, y) que, cuando son debidamente sustituidos en la función , hacen que la sentencia matemática sea verdadera. Como se puede observar en el gráfico, la recta pasa por el punto de coordenadas (-2, 1), de modo que el punto forma parte del gráfico. El punto (0, 5) también; el (-3, -1) ídem, al igual que infinitos otros. ¿Y los puntos que no pertenecen a la recta? ¿Cómo podrán representarse? En primer lugar, observemos que cualquier recta divide el plano cartesiano en dos semiplanos, uno encima y otro debajo de ella. Tomemos un punto encima de la recta, como por ejemplo (-2, 3). Si sustituimos x = -2 en la ecuación de la recta, obtenemos y = 2.(-2) + 5 = 1. Como ya vimos, el punto (-2, 1) está sobre la recta. Pero el valor de y = 3, obtenido cuando sustituimos x = -2, es mayor que y = 1 Por lo tanto, ese, al igual que infinitos otros puntos que están en la región azul señalada en el gráfico, corresponden a los puntos en los que y > 2x + 5. Ahora, observemos el punto de coordinadas (3, 2). Si sustituimos x = 3 en la función , obtenemos y = 11. Pero y = 2, obtenido cuando sustituimos en la función x = 3, es menor que y = 11. Entonces, ese punto, así como también los infinitos puntos para los cuales y < 2x + 5, ddeterminan la región señalada en rojo en el gráfico. La misma lógica se aplica a las situaciones en las que el declive de la recta es negativo: y > ax + b determina los puntos por encima de la recta; y < ax + b determina los puntos por debajo de la recta.