Forma general y gráfico
La ley de formación de la función de segundo grado, también llamada función cuadrática, se enuncia de la siguiente forma general: y = ax² + bx + c Donde a, b y c son números reales y a es diferente a cero. El gráfico de toda y cualquier función de segundo grado tiene la forma de una parábola. Los coeficientes a, b y c de la forma general desempeñan diferentes papeles sobre el formato del gráfico de la función cuadrática: 
- el coeficiente a domina la concavidad de la parábola, su región interna; 
- el coeficiente b está directamente relacionado con la posición de la parábola sobre el plano cartesiano; 
- el coeficiente c determina el punto de intersección de la parábola con el eje y. Para comprobar esas propiedades, haga variar, uno por uno, los coeficientes de la forma general de la función cuadrática y observe los efectos sobre el gráfico. 

Coordinadas del vértice de la parábola
La parábola, gráfico de la función de segundo grado, tiene forma simétrica, de acuerdo con una recta vertical imaginaria que la divide en dos partes. El punto de intersección de esa recta con la propia parábola se denomina «vértice de la parábola». La coordinada x del vértice, en función de los coeficientes a, b y c de la forma general, se establece mediante la fórmula:
x_v = -b / 2a La coordinada y del vértice se establece mediante:
y_v = -Δ / 4a Donde Δ = b² – 4ac, es el discriminante de la fórmula de Bháskara. Inserte al lado valores para los coeficientes a, b y c de la forma general de la función cuadrática para calcular las coordenadas del vértice de la parábola. Haga la comprobación en el gráfico. 

Raíces de la función
Cuando existan, las raíces de la función cuadrática pueden determinarse mediante la fórmula de Bháskara: [Image]Functiones/Fm_x=-b+-Sqrt(D(2a)-1)[/Image] Recordemos que Δ = b² – 4ac es el discriminante de la función. Es fácil observar que, dado que el discriminante se encuentra bajo una raíz cuadrada, su valor determinará, en última instancia, la cantidad de raíces de la función en cuestión: 
Δ > 0 dos raíces 
Δ = 0 una raíz 
Δ < 0 ninguna raíz En el gráfico, las raíces corresponden a los puntos donde la parábola hace intersección con el eje x. Varíe los coeficientes de la forma general de la función cuadrática y observe cómo se comporta la función de segundo grado en términos de sus raíces. 

Forma canónica
La función de segundo grado también puede representarse mediante la llamada forma canônica. entre otras. En ella se manifiestan las coordenadas del vértice de la parábola. Cuando se definan las coordenadas del vértice, el desarrollo algébrico de la expresión llevará a la forma general de la función. La forma canónica se establece mediante: y = a (x - x_v)² + y_v Donde el coeficiente a es el mismo de la forma general y que determina la concavidad de la parábola, y las coordenadas del vértice son (x_v, y_v) En el gráfico se puede observar cómo se comporta la parábola a medida que se alteran las coordenadas del vértice y el valor del coeficiente a. 

Crecimiento y decrecimiento
Una de las maneras de determinar si una función es creciente o decreciente es observar dos puntos que pertenezcan al gráfico de la función, ambos muy cercanos entre sí. Si el valor y del punto más a la derecha es mayor que el valor y del otro punto, entonces la función es creciente en ese punto. En caso contrario, la función es decreciente en ese punto. También se puede evaluar el crecimiento de una función observando la inclinación de una recta tangente al gráfico de la función en un determinado punto. Si el declive es positivo, la función es creciente en ese punto. Si el declive es negativo, la función es decreciente en ese punto. En el gráfico se puede recorrer una función cuadrática con un punto sobre el cual se trazó la tangente al gráfico de la función. Es fácil observar que el vértice es una línea divisoria en la parábola: a su izquierda, la misma puede ser creciente y, a su derecha, decreciente, o viceversa, según la señal del coeficiente a. En el vértice, el declive de la recta tangente a la curva es nulo. 

Señal
Como ya estudiamos, analizar la señal de una función significa determinar en qué intervalos de valores de x la función asume valor positivo, negativo o nulo. Para ello, debemos verificar la señal del valor y en ese punto. En ese sentido, el gráfico es una herramienta muy importante, ya que en él podemos observar fácilmente los puntos que tienen valor y > 0 (puntos por encima del eje x), los que tienen coordenada y < 0 (puntos por debajo del eje x) y los puntos cuyo valor es cero (puntos sobre el eje x).